यदि वक्र $y = \frac{\ln x}{x}$ और $y = \lambda x^2$ (जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है) एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,तो $\lambda$ का मान है

वक्र $(y-x^5)^2=x(1+x^2)^2$ के बिंदु $(1,3)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

प्रथम चतुर्थांश में $y = x^n$ $(n \in N)$ के ग्राफ पर स्थित बिंदु $P(a, a^n)$ पर एक अभिलंब खींचा गया है। यह अभिलंब $y-$ अक्ष को $(0, b)$ बिंदु पर काटता है। यदि $\mathop {Lim}\limits_{a \to 0} b = \frac{1}{2}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$,$y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$ के लिए,किसी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब के बारे में निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

यदि $P$ और $Q$ वक्र $y = x^3 - x$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं,इस प्रकार कि $P$ पर स्पर्शरेखा वक्र को $Q$ पर फिर से काटती है,तो $\frac{m_{OQ} + 1}{m_{OP} + 1}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूल बिंदु है और $m_{AB}$ रेखाखंड $AB$ की ढाल को दर्शाता है।

मान लीजिए $a$ एक निश्चित धनात्मक वास्तविक संख्या है और $n$ एक स्वेच्छ अचर है। वक्र $y = \frac{x^n}{a^{n-1}}$ के लिए,यदि किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर अभिलंब की लंबाई (subnormal) $a^2$ के समानुपाती है,तो $n =$